f825555f-986c-4044-b28b-5af09385be21 [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (I)}
Das Komplement einer Vereinigung ist \hide{der Schnitt der Komplemente.}
[/latex] [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (I)}
Das Komplement einer Vereinigung ist der Schnitt der Komplemente.
\cite{Satz~1.8}
[/latex] [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (II)}
Das Komplement eines Schnitts ist \hide{die Vereinigung der Komplemente.}
[/latex] [latex]
\textbf{De Morgansche Regel (II)}
Das Komplement eines Schnitts ist die Vereinigung der Komplemente.
\cite{Satz~1.8}
[/latex] LinA-I-01-Mengen Satz
11291ec1-e99f-4642-b7c1-7581a2a8e902 [latex]
Ein \textbf{Urbild} eines Elements \(b\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{ein Element \(a\in A\) mit \(f(a) = b\).}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Urbild} eines Elements \(b\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist ein Element \(a\in A\) mit \(f(a) = b\).
\cite{Def.~1.17}
[/latex] [latex]
Das \textbf{Urbild} einer Teilmenge \(B'\subset B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{die Menge \emph{aller} \(a\in A\) mit \(f(a) \in B'\).}
[/latex] [latex]
Das \textbf{Urbild} einer Teilmenge \(B'\in B\) unter einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist die Menge \emph{aller} \(a\in A\) mit \(f(a) \in B'\).
\[f^{-1}(B') = \{ a\in A\mid f(a) \in B'\}\]
\cite{Def.~1.17}
[/latex] [latex]
Die \textbf{Faser} eines Elements \(b\in B\) bezüglich einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \hide{die Menge aller Urbilder von~\(b\).}
[/latex] [latex]
Die \textbf{Faser} eines Elements \(b\in B\) bezüglich einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist die Menge aller Urbilder von~\(b\).
\cite{Def.~1.17}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
f3bbe339-01a5-4cff-95c2-86baf1d351ec [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{injektiv}, wenn \hide{jedes \(b\in B\) \emph{höchstens} ein Urbild besitzt.}
\hint{Urbild}
[/latex] [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{injektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{höchstens} ein Urbild besitzt.
\cite{Def.~1.22}
[/latex] [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{surjektiv}, wenn \hide{jedes \(b\in B\) \emph{mindestens} ein Urbild besitzt.}
\hint{Urbild}
[/latex] [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{surjektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{mindestens} ein Urbild besitzt.
\cite{Def.~1.22}
[/latex] [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{bijektiv}, wenn \hide{jedes \(b\in B\) \emph{genau} ein Urbild besitzt.}
\hint{Urbild}
[/latex] [latex]
Eine Abbildung \(f\colon A\to B\) ist \textbf{bijektiv}, wenn jedes \(b\in B\) \emph{genau} ein Urbild besitzt.
\cite{Def.~1.22}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
375564ce-b716-410a-b3aa-ff0515aa4453 [latex]
Eine \textbf{Umkehrabbildung} einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist eine \hide{Abbildung \(A\from B \noloc g\) in umgekehrter Richtung, sodass beide Kompositionen \(f\circ g \) und \(g\circ f\) jeweils die Identität sind.}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Umkehrabbildung} einer Abbildung \(f\colon A\to B\) ist eine Abbildung \(A\from B \noloc g\) in umgekehrter Richtung, sodass beide Kompositionen \(f\circ g \) und \(g\circ f\) jeweils die Identität sind.
\cite{Def.~1.20}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Isomorphismus von Mengen} ist eine \hide{Abbildung von Mengen, die eine Umkehrabbildung besitzt (oder: die bijektiv ist). }
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Isomorphismus von Mengen} ist eine Abbildung von Mengen, die eine Umkehrabbildung besitzt (oder: die bijektiv ist).
\cite{Def.~1.20}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
3a15ea67-4a28-4c52-a860-dd9aa1a37406 [latex]
Eine Abbildung von Mengen besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn sie \hide{bijektiv} ist.
[/latex] [latex]
Eine Abbildung von Mengen besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn sie \emph{bijektiv} ist.
\cite{Satz~1.23}
[/latex] LinA-I-01-Mengen Satz
0f606af9-efe9-401e-a3fc-fb7d993c3b8f [latex]
Zwei Mengen sind \textbf{isomorph}, wenn \hide{es eine Bijektion\slash einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. }
[/latex] [latex]
Zwei Mengen sind \textbf{isomorph}, wenn es eine Bijektion\slash einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
\bigskip
(Äquivalente Ausdrucksweisen:\par Die Mengen haben dieselbe Kardinalität.\par Die Mengen haben dieselbe Mächtigkeit. Die Mengen sind gleich mächtig.)
\cite{Def.~1.20/Bem.~1.25}
[/latex] [latex]
Zwei Mengen \textbf{haben dieselbe Kardinalität}, wenn \hide{es eine Bijektion\slash einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt. }
[/latex] [latex]
Zwei Mengen \textbf{haben dieselbe Kardinalität}, wenn es eine Bijektion\slash einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.
\bigskip
(Äquivalente Ausdrucksweise:\par Die Mengen sind isomorph. Die Mengen sind gleich mächtig. Die Mengen haben dieselbe Mächtigkeit.)
\cite{Def.~1.24/Bem.~1.25}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
6dc5bb4e-3275-11ec-8d3d-0242ac130003 [latex]
Sind $X$ und $Y$ \hide{endliche} Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
\cite{Satz 1.26}
[/latex] [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit \hide{gleich vielen } Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Sind $X$ und $Y$ endliche Mengen mit gleich vielen Elementen, so sind die folgenden Eigenschaften einer Abbildung \(f\colon X\to Y\) äquivalent zueinander:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist injektiv
\item \(f\) ist surjektiv
\item \(f\) ist bijektiv
\end{enumerate}
\cite{Satz 1.26}
[/latex] LinA-I-01-Mengen Satz
0395a5a1-67bc-42eb-90bc-ae2b85d9e977 [latex]
Eine \textbf{Relation} auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge von \hide{\(M\times M\). }
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Relation} auf einer Menge \(M\) ist eine Teilmenge von \(M\times M\).
\cite{Def~1.27}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
9d9062f8-45d6-4617-9314-f8132e256c23 [latex]
Sei \(R_\sim\subset M\times M\) eine Relation auf \(M\).
\[
x\sim y \quad\text{ bedeutet }\quad \phantom{(x,y)\in R_\sim}
\]
[/latex] [latex]
Sei \(R_\sim\subset M\times M\) eine Relation auf \(M\).
\[
x\sim y \quad\text{ bedeutet }\quad (x,y)\in R_\sim
\]
\cite{Def~1.27}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
c5808f6b-9604-4845-9361-46b80074bffe [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{reflexiv}, falls
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{reflexiv}, falls
\[
x\sim x \text{ für alle } x \in M.
\]
\cite{Def~1.28}
[/latex] [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{symmetrisch}, falls
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{symmetrisch}, falls
\[
x\sim y \quad\Leftrightarrow\quad y\sim x
\]
für alle \(x,y\in M\).
\cite{Def~1.28}
[/latex] [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{transitiv}, falls
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Eine Relation \(R_\sim\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{transitiv}, falls
\[
(x\sim y \text{ und } y \sim z) \quad\Rightarrow\quad x\sim z
\]
für alle \(x,y,z\in M\).
\cite{Def~1.28}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
d0f75f0a-5116-42c4-8922-0451c3ec5583 [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\dots\\
\emph{symmetrische}\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\emph{symmetrische}\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
\cite{Def~1.28}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\dots\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\emph{symmetrische}\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
\cite{Def~1.28}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\emph{symmetrische}\\
\dots
\end{center}
Relation.
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Äquivalenzrelation} ist eine
\begin{center}
\emph{reflexive}\\
\emph{symmetrische}\\
\emph{transitive}
\end{center}
Relation.
\cite{Def~1.28}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
7653aade-ecd9-42bd-8614-6754e3aec090 [latex]
Die zu einer Abbildung \(f\colon M \to N\) gehörige Äquivalenzrelation auf \(M\) ist gegeben durch
\[
x\sim_f y \quad:\Leftrightarrow \quad \phantom{f(x) = f(y).}
\]
[/latex] [latex]
Die zu einer Abbildung \(f\colon M \to N\) gehörige Äquivalenzrelation auf \(M\) ist gegeben durch
\[
x\sim_f y \quad:\Leftrightarrow \quad f(x) = f(y).
\]
\cite{Bsp.~iv nach Def~1.26}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
5bdc1f30-660e-4a14-8208-5115e9a1587c [latex]
Die \textbf{Äquivalenzklasse} \([x]\) eines Elements \(x \in M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus \(\dots\)
[/latex] [latex]
Die \textbf{Äquivalenzklasse} \([x]\) eines Elements \(x \in M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus allen Elementen \(y\) mit \(y\sim x\).
\cite{Def.~1.28}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
cef39575-f39d-4233-a69c-94d86e4c1be9 [latex]
Die \textbf{Quotientenmenge} \[M/\!\sim \quad\quad\text{(„\(M\) modulo \(\sim\)“)}\] einer Menge \(M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus \(\dots\)
[/latex] [latex]
Die \textbf{Quotientenmenge} \[M/\!\sim \quad\quad\text{(„\(M\) modulo \(\sim\)“)}\] einer Menge \(M\) bezüglich einer Relation \(R_\sim\) besteht aus allen Äquivalenzklassen von \(M\) bezüglich \(R_\sim\).
\cite{Def.~1.29}
[/latex] Def LinA-I-01-Mengen
4e359271-dc24-4a47-8731-e64bbd097cd6 [latex]
\textbf{Isomorphiesatz für Mengen}
Jede Abbildung \(f\colon A\longrightarrow B\) induziert einen Isomorphismus von Mengen
\[\dots\]
[/latex] [latex]
\textbf{Isomorphiesatz für Mengen}
Jede Abbildung \(f\colon A\longrightarrow B\) induziert einen Isomorphismus von Mengen
\[
A/\!\sim_f \;\xrightarrow{\quad\cong\quad}\; f(A).
\]
\cite{Satz~1.32}
[/latex] LinA-I-01-Mengen Satz
81d453fb-ca73-4d06-92ca-82c649c09d0e [latex]
Eine (binäre) \textbf{Verknüpfung} auf einer Menge \(M\) ist \hide{eine Abbildung \(M\times M\to M\).}
[/latex] [latex]
Eine (binäre) \textbf{Verknüpfung} auf einer Menge \(M\) ist eine Abbildung \(M\times M\to M\).
\cite{Def.~2.1}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
e790a047-640c-41a4-bab0-f797a8bcd500 [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{assoziativ}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{assoziativ}, falls gilt:
\[
x\star(y\star z) = (x\star y)\star z
\]
für alle \(x,y,z \in M\).
\cite{Def.~2.2}
[/latex] [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{kommutativ}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Eine Verknüpfung \(\star\) auf einer Menge \(M\) ist \textbf{kommutativ}, falls gilt:
\[
x\star y = y\star x
\]
für alle \(x,y \in M\).
\cite{Def.~2.2}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
666df87a-25ff-4c7b-9973-001619289bb8 [latex]
Ein \textbf{neutrales Element} einer Verknüpfung \(\star\) auf \(M\) ist ein Element \(e\in M\), für das gilt:
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Ein \textbf{neutrales Element} einer Verknüpfung \(\star\) auf \(M\) ist ein Element \(e\in M\), für das gilt:
\[
e\star x = x = x\star e
\]
für alle \(x\in M\).
\cite{Def.~2.3}
[/latex] [latex]
Sei \(\star\) eine Verknüpfung auf \(M\) mit neutralem Element~\(e\).
Ein \textbf{inverses Element} zu \(x\in M\) ist ein \(y\in M\), für das gilt:
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Sei \(\star\) eine Verknüpfung auf \(M\) mit neutralem Element~\(e\).
Ein \textbf{inverses Element} zu \(x\in M\) ist ein \(y\in M\), für das gilt:
\[
x\star y = e = y\star x
\]
\cite{Def.~2.3}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
484e9a1b-85a8-42d1-98f2-facac603682a [latex]
Eine \textbf{Gruppe} besteht aus einer Menge \(G\) und aus \(\dots\)
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Gruppe} besteht aus einer Menge \(G\) und aus einer Verknüpfung
\(\star\) auf \(G\).
\cite{Def.~2.3}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\dots\)
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
\cite{Def.~2.3}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\dots\)
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
\cite{Def.~2.3}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] \(\dots\)
\end{itemize}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Gruppe} \((G,\star)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(G1)] \(\star\) ist assoziativ.
\item[(G2)] \(\star\) besitzt ein neutrales Element.
\item[(G3)] Jedes \(g\in G\) besitzt ein Inverses bezüglich \(\star\).
\end{itemize}
\cite{Def.~2.3}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
9e4c958b-5ff7-4de3-a0bd-0befbf0d4f5e [latex]
Ein Gruppe \((G,\star)\) ist \textbf{abelsch}, falls \hide{die Verknüpfung \(\star\) kommutativ ist.}
[/latex] [latex]
Ein Gruppe \((G,\star)\) ist \textbf{abelsch}, falls die Verknüpfung \(\star\) kommutativ ist.
\cite{Def.~2.3}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
5d5670d6-3b04-11ec-8d3d-0242ac130003 [latex]
In einer Gruppe \((G,\cdot)\) ist das Inverse eines Produkts \(x\cdot y\) gegeben durch
\[
(x\cdot y)^{-1} = \hide{y^{-1}\cdot x^{-1}}
\]
[/latex] [latex]
In einer Gruppe \((G,\cdot)\) ist das Inverse eines Produkts \(x\cdot y\) gegeben durch
\[
(x\cdot y)^{-1} = y^{-1}\cdot x^{-1}
\]
\textit{--- Reihenfolge beachten!}
\cite{Satz~2.7}
[/latex] LinA-I-02-Gruppen Satz
5d566fc8-3b04-11ec-8d3d-0242ac130003 [latex]
Eine \textbf{Untergruppe} einer Gruppe \((G,\cdot)\) ist eine Teilmenge \(H\subset G\), für die gilt:
\begin{enumerate}
\item Die Verknüpfung \(\cdot\) lässt sich \hide{ einschränken zu einer Verknüpfung \(H\times H\to H\).}
\item \hide{Zusammen mit der eingeschränkten Verknüpfung ist \(H\) selbst wieder eine Gruppe.}
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Untergruppe} einer Gruppe \((G,\cdot)\) ist eine Teilmenge \(H\subset G\), für die gilt:
\begin{enumerate}
\item Die Verknüpfung \(\cdot\) lässt sich einschränken zu einer Verknüpfung \(H\times H\to H\).
\item Zusammen mit der eingeschränkten Verknüpfung ist \(H\) selbst wieder eine Gruppe.
\end{enumerate}
\cite{Def.~2.8}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
5d566db6-3b04-11ec-8d3d-0242ac130003 [latex]
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(1_G\). Eine Teilmenge \(H\subset G\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \hide{\(1_G \in H\)}
\item \(\forall x,y\in H\colon x\cdot y \in H\)
\item \(\forall x\in H\colon \quad x^{-1} \in H\)
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(1_G\). Eine Teilmenge \(H\subset G\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(1_G \in H\)
\item \(\forall x,y\in H\colon x\cdot y \in H\)
\item \(\forall x\in H\colon \quad x^{-1} \in H\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~2.9}
[/latex] [latex]
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(1_G\). Eine Teilmenge \(H\subset G\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(1_G \in H\)
\item \hide{\(\forall x,y\in H\colon x\cdot y \in H\)}
\item \(\forall x\in H\colon \quad x^{-1} \in H\)
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(1_G\). Eine Teilmenge \(H\subset G\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(1_G \in H\)
\item \(\forall x,y\in H\colon x\cdot y \in H\)
\item \(\forall x\in H\colon \quad x^{-1} \in H\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~2.9}
[/latex] [latex]
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(1_G\). Eine Teilmenge \(H\subset G\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(1_G \in H\)
\item \(\forall x,y\in H\colon x\cdot y \in H\)
\item \hide{\(\forall x\in H\colon \quad x^{-1} \in H\)}
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Sei \((G,\cdot)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(1_G\). Eine Teilmenge \(H\subset G\) ist genau dann eine Untergruppe, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(1_G \in H\)
\item \(\forall x,y\in H\colon x\cdot y \in H\)
\item \(\forall x\in H\colon \quad x^{-1} \in H\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~2.9}
[/latex] LinA-I-02-Gruppen Satz
dfe57b67-31fb-455f-b9cc-6e6f869496ae [latex]
Eine Abbildung zwischen Gruppen \(f\colon (G,\star)\to(H,\ast)\) ist ein \textbf{Gruppenhomomorphismus}, falls gilt:
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Eine Abbildung zwischen Gruppen \(f\colon (G,\star)\to(H,\ast)\) ist ein \textbf{Gruppenhomomorphismus}, falls gilt:
\[
f(g_1\star g_2) = f(g_1)\ast f(g_2)
\]
für alle \(g_1,g_2 \in G\).
\cite{Def.~2.10}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
854af9c7-fc28-4174-afb4-926422f7034a [latex]
Der \textbf{Kern} eines Gruppenhomomorphismus \[f\colon G_1\to G_2\] besteht aus \(\dots\)
[/latex] [latex]
Der \textbf{Kern} eines Gruppenhomomorphismus \[f\colon G_1\to G_2\] besteht aus allen Elementen von \(G_1\), die auf das neutrale Element von \(G_2\) abgebildet werden.
\cite{Def.~2.15}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
ef600d1b-8535-41ee-beec-8c01eb2de594 [latex]
Die \textbf{Linksnebenklasse} eines Gruppenelements \(g\) bezüglich einer Untergruppe \(H\) von \((G,\star)\) ist die Teilmenge
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Die \textbf{Linksnebenklasse} eines Gruppenelements \(g\) bezüglich einer Untergruppe \(H\) von \((G,\star)\) ist die Teilmenge
\[
g\star H := \{g\star h \mid h\in H\}.
\]
\cite{Def.~2.17}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
4d9a21c7-209a-4292-9c6a-60fff5ffe102 [latex]
Eine Untergruppe ist \textbf{normal}, wenn \(\dots\)
[/latex] [latex]
Eine Untergruppe ist \textbf{normal}, wenn Links- und Rechtsnebenklassen übereinstimmen.
\bigskip
(\(g\star H = H\star g\) für alle \(g\in G\).)
\cite{Def.~2.19}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
919e9fd1-ff69-443b-878d-ed49c6330f3b [latex]
Die Menge aller Linksnebenklassen einer Untergruppe besitzt eine natürliche Gruppenstruktur, sofern \hide{die Untergruppe normal ist.}
[/latex] [latex]
Die Menge aller Linksnebenklassen einer Untergruppe besitzt eine natürliche Gruppenstruktur, sofern die Untergruppe normal ist.
\bigskip
(In diesem Fall sind Linksnebenklassen gleich Rechtsnebenklassen, und die Menge aller dieser Nebenklassen mit obiger Gruppenstruktur heißt Quotientengruppe.)
\cite{Satz \& Def.~2.21}
[/latex] LinA-I-02-Gruppen Satz
32510c32-d96f-41ca-bff1-a5892a07e2af [latex]
Die \textbf{Quotientengruppe} \(G/H\) einer Gruppe modulo einer normalen Untergruppe besteht aus \(\dots\)
[/latex] [latex]
Die \textbf{Quotientengruppe} \(G/H\) einer Gruppe modulo einer normalen Untergruppe besteht aus den (Rechts = Links)\allowbreak Nebenklassen von \(H\) in \(G\).
\cite{Satz \& Def.~2.21}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
8dbc3baf-0ad0-4630-af0c-733f18967c85 [latex]
Eine \textbf{\(n\)-stellige Permutation} ist \hide{eine bijektive Abbildung}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{\(n\)-stellige Permutation} ist eine bijektive Abbildung
\[
\{1,\dots, n\} \xrightarrow{\quad\cong\quad} \{1,\dots,n\}
\]
\cite{Def~2.26}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
0786bd7d-ee0b-47c7-b80a-3baf5b79b22d [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) besteht aus \hide{allen \(n\)-stelligen Permutationen.}
[/latex] [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) besteht aus allen \(n\)-stelligen Permutationen.
\cite{Def~2.27}
[/latex] [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) ist die Menge aller \(n\)-stelliger Permutationen zusammen mit \hide{der Komposition} als Verknüpfung.
[/latex] [latex]
Die \textbf{symmetrische Gruppe} \(S_n\) ist die Menge aller \(n\)-stelliger Permutationen zusammen mit der Komposition als Verknüpfung.
\cite{Def~2.27}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
32da7a61-889c-4ba1-a40c-178bc935b33c [latex]
Ein \textbf{Fehlstand} einer Permutation \(\sigma\in S_n\) ist \hide{eine zwei-elementige Teilmenge \(\{i,k\}\subseteq\{1,\dots, n\}\) mit}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Fehlstand} einer Permutation \(\sigma\in S_n\) ist eine zwei-elementige Teilmenge \(\{i,k\}\subseteq\{1,\dots, n\}\) mit
\begin{align*}
&& i&<k &&\text{ und } &\sigma(i) &> \sigma(k)
\end{align*}
\cite{Def~2.29}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
18077724-cf2d-4006-9d21-024e7b5b0f2a [latex]
Das \textbf{Signum} einer Permutation \(\sigma\) ist gegeben durch
\[
\signum(\sigma) := \hide{(-1)^{\text{Anzahl der Fehlstände von \(\sigma\)}}}
\]
[/latex] [latex]
Das \textbf{Signum} einer Permutation \(\sigma\) ist gegeben durch
\[
\signum(\sigma) := (-1)^{\text{Anzahl der Fehlstände von \(\sigma\)}}
\]
\cite{Def~2.29}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
b84db407-d8cf-4233-8aa3-7619cda7cc0d [latex]
Das Signum definiert einen Gruppenhomomorphismus \(S_n\to \{\pm 1\}\). Das bedeutet:
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Das Signum definiert einen Gruppenhomomorphismus \(S_n\to \{\pm 1\}\). Das bedeutet:
\[
\signum(\sigma_1\circ\sigma_2) = \signum(\sigma_1)\cdot\signum(\sigma_2)
\]
\cite{Satz~2.30}
[/latex] LinA-I-02-Gruppen Satz
c30f5002-4c6e-11ec-81d3-0242ac130003 [latex]
Die \textbf{alternierende Gruppe} \(A_n\) ist \hide{der Kern des Signums.}
[/latex] [latex]
Die \textbf{alternierende Gruppe} \(A_n\) ist der Kern des Signums.
\[
A_n := \ker(\signum\colon S_n \to \{\pm 1\})
\]
\cite{Def.~2.31}
[/latex] Def LinA-I-02-Gruppen
4bfedc9c-496d-4be9-9301-1ad4c84fe8c0 [latex]
Zwei Verknüpfungen \(+\), \(\cdot\) auf einer Menge \(R\) erfüllen die \textbf{Distributivgesetze}, falls für alle \(x,y,z\in R\) gilt:
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Zwei Verknüpfungen \(+\), \(\cdot\) auf einer Menge \(R\) erfüllen die \textbf{Distributivgesetze}, falls für alle \(x,y,z\in R\) gilt:
\[
\begin{aligned}
(x+y)\cdot z &= (x\cdot z) + (y\cdot z) \\
z\cdot (x+y) &= (z\cdot x) + (z\cdot y)
\end{aligned}
\]
\cite{Def.~3.1}
[/latex] Def LinA-I-03-Ringe
93f8bf5d-4365-49e1-8ef8-b315e8623604 [latex]
Ein \textbf{Ring} besteht aus einer Menge \(R\) sowie \hide{zwei Verknüpfungen auf \(R\): einer „Addition“ \(+\) und einer „Multiplikation“ \(\cdot\).}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ring} besteht aus einer Menge \(R\) sowie zwei Verknüpfungen auf \(R\): einer „Addition“ \(+\) und einer „Multiplikation“ \(\cdot\).
\cite{Def.~3.1}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist \(\dots\)
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
\cite{Def.~3.1}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\dots\)
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
\cite{Def.~3.1}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\dots\)
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
\cite{Def.~3.1}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] \(\dots\)
\end{itemize}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ring} \((R,+,\cdot)\) muss den folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(R1)] \((R,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe.
\item[(R2a)] \(\cdot\) ist assoziativ.
\item[(R2b)] \(\cdot\) besitzt ein neutrales Element \(1\).
\item[(R3)] Es gelten die Distributivgesetze.
\end{itemize}
\cite{Def.~3.1}
[/latex] Def LinA-I-03-Ringe
b15cb225-92c9-4406-999d-2390ea8eae6c [latex]
Ein \textbf{kommutativer Ring} ist ein Ring, in dem \(\dots\)
[/latex] [latex]
Ein \textbf{kommutativer Ring} ist ein Ring, in dem auch die Multiplikation kommutativ ist.
\cite{Def.~3.1}
[/latex] Def LinA-I-03-Ringe
45a6ea48-4c6f-11ec-81d3-0242ac130003 [latex]
Ein \textbf{Ringhomomorphismus} ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \hide{\(f(x+y) = f(x) + f(y)\)}
\item \(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\)
\item \(f(1) = 1\)
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ringhomomorphismus} ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)
\item \(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\)
\item \(f(1) = 1\)
\end{enumerate}
\cite{Def.~3.3}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ringhomomorphismus} ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)
\item \hide{\(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\)}
\item \(f(1) = 1\)
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ringhomomorphismus} ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)
\item \(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\)
\item \(f(1) = 1\)
\end{enumerate}
\cite{Def.~3.3}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ringhomomorphismus} ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)
\item \(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\)
\item \hide{\(f(1) = 1\)}
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Ringhomomorphismus} ist eine Abbildung \(f\) zwischen zwei Ringen, die die folgenden Bedingungen erfüllt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item \(f(x+y) = f(x) + f(y)\)
\item \(f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y)\)
\item \(f(1) = 1\)
\end{enumerate}
\cite{Def.~3.3}
[/latex] Def LinA-I-03-Ringe
ed923336-6f93-4524-bd9b-9e42c543cc4a [latex]
Eine \textbf{Einheit} in einem Ring \(R\) ist ein Element, das \hide{ein multiplikatives Inverses besitzt.}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Einheit} in einem Ring \(R\) ist ein Element, das ein multiplikatives Inverses besitzt.
\cite{(Def.~3.4)}
[/latex] [latex]
Die \textbf{Einheitengruppen} \(R^\times\) eines Rings \(R\) ist \(\dots\)
[/latex] [latex]
Die \textbf{Einheitengruppen} \(R^\times\) eines Rings \(R\) ist die Menge aller Einheiten zusammen mit der Multiplikation als Verknüpfung.
\cite{Def.~3.4}
[/latex] Def LinA-I-03-Ringe
966e0a31-a87b-47f3-a3bb-bd9c6816e5f7 [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein kommutativer Ring, in dem \(\dots\)
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein kommutativer Ring, in dem jedes Element außer der Null eine Einheit ist.
\cite{Def.~3.5}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein \hide{kommutativer} Ring, in dem jedes Element außer der Null eine Einheit ist.
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Körper} ist ein \emph{kommutativer} Ring, in dem jedes Element außer der Null eine Einheit ist.
\cite{Def.~3.5}
[/latex] Def LinA-I-03-Ringe
fe6017ee-4c6f-11ec-81d3-0242ac130003 [latex]
In \hide{Körpern } und in \(\ZZ\) gilt:
\[
a\cdot b = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left( a = 0 \text{ oder } b = 0 \right)
\]
[/latex] [latex]
In Körpern und in \(\ZZ\) gilt:
\[
a\cdot b = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left( a = 0 \text{ oder } b = 0 \right)
\]
\cite{Notiz~3.6}
[/latex] [latex]
In Körpern und in \hide{\(\ZZ\) } gilt:
\[
a\cdot b = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left( a = 0 \text{ oder } b = 0 \right)
\]
[/latex] [latex]
In Körpern und in \(\ZZ\) gilt:
\[
a\cdot b = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left( a = 0 \text{ oder } b = 0 \right)
\]
\cite{Notiz~3.6}
[/latex] LinA-I-03-Ringe Satz
53e0eae0-4c75-11ec-81d3-0242ac130003 [latex]
Der Ring \(\ZZ/p\ZZ\) ist genau dann ein Körper, wenn \hide{\(p\) eine Primzahl ist.}
[/latex] [latex]
Der Ring \(\ZZ/p\ZZ\) ist genau dann ein Körper, wenn \(p\) eine Primzahl ist.
(Wir schreiben dann auch \(\FF_p := \ZZ/p\ZZ\).)
\cite{Satz~3.7}
[/latex] LinA-I-03-Ringe Satz
de884437-195f-4cea-8509-1426cb8d4676 [latex]
Ein \textbf{Polynom} mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring \(R\) ist eine Symbol der Form
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Polynom} mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring \(R\) ist eine Symbol der Form
\[
a_n X^n + \cdots + a_2 X^2 + a_1 X^1 + a_0
\]
mit \(a_n,\dots,a_2,a_1,a_0 \in R\), \(n\in\NN_0\).
\cite{Def.~3.12}
[/latex] [latex]
Zwei Polynome sind gleich, wenn \hide{alle ihre Koeffizienten übereinstimmen.}
[/latex] [latex]
Zwei Polynome sind gleich, wenn alle ihre Koeffizienten übereinstimmen.
\cite{Def.~3.12}
[/latex] Def LinA-I-03-Ringe
42897940-f710-4d9d-8f87-28fba81a7c55 [latex]
Der \textbf{Polynomring} \(R[X]\) über einem kommutativen Ring \(R\) besteht aus \(\dots\)
[/latex] [latex]
Der \textbf{Polynomring} \(R[X]\) über einem kommutativen Ring \(R\) besteht aus allen Polynomen mit Koeffizienten in \(R\).
\cite{Def. \& Satz 3.13}
[/latex] Def LinA-I-03-Ringe
1bc146b4-4b3f-440f-90b0-bc5ed8db18f0 [latex]
Der \textbf{Grad} \(\deg(A)\) eines Polynoms \[A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i \neq 0\] ist \hide{ist der größte Index \(i\), für den der Koeffizient \(a_i\) ungleich Null ist.}
[/latex] [latex]
Der \textbf{Grad} \(\deg(A)\) eines Polynoms \[A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i \neq 0\] ist der größte Index \(i\), für den der Koeffizient \(a_i\) ungleich Null ist.
\cite{Def.~3.14}
[/latex] [latex]
Der \textbf{Leitkoeffizient} eines Polynoms \(A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i\) ist \hide{der Koeffizient \(a_{\deg(A)}\).}
[/latex] [latex]
Der \textbf{Leitkoeffizient} eines Polynoms \(A=\sum_{i\geq 0} a_i X^i\) ist der Koeffizient \(a_{\deg(A)}\).
\cite{Def.~3.14}
[/latex] Def LinA-I-03-Ringe
2b96f024-4c71-11ec-81d3-0242ac130003 [latex]
\textbf{Gradformel}
Seien \(A,B\) Polynome ungleich Null, mit Leifkoeffizienten \(a\) und \(b\).
Falls \hide{\(a\cdot b\neq 0\)}, so ist \hide{auch \(A\cdot B\neq 0\)}, und
\[
\deg(A\cdot B) =\deg A + \deg B
\]
[/latex] [latex]
\textbf{Gradformel}
Seien \(A,B\) Polynome ungleich Null, mit Leifkoeffizienten \(a\) und \(b\).
Falls \(a\cdot b\neq 0\), so ist auch \(A\cdot B\neq 0\), und
\[
\deg(A\cdot B) =\deg A + \deg B
\]
\cite{Satz~3.15}
[/latex] [latex]
\textbf{Gradformel}
Seien \(A,B\) Polynome ungleich Null, mit Leifkoeffizienten \(a\) und \(b\).
Falls \(a\cdot b\neq 0\), so ist auch \(A\cdot B\neq 0\), und
\[
\hide{\deg(A\cdot B) =\deg A + \deg B}
\]
[/latex] [latex]
\textbf{Gradformel}
Seien \(A,B\) Polynome ungleich Null, mit Leifkoeffizienten \(a\) und \(b\).
Falls \(a\cdot b\neq 0\), so ist auch \(A\cdot B\neq 0\), und
\[
\deg(A\cdot B) =\deg A + \deg B
\]
\cite{Satz~3.15}
[/latex] Def LinA-I-03-Ringe
bd73b8ba-9bbc-4724-858f-cb705fd72708 [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls
\begin{quote}
der Leitkoeffizient von \(B\)\\ \hide{eine Einheit ist,}
\end{quote}
so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\(
A = B\cdot Q + S
\)
mit \(\deg S<\deg B\).
[/latex] [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls
\begin{quote}
der Leitkoeffizient von \(B\)\\
eine Einheit ist,
\end{quote}
so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\(
A = B\cdot Q + S
\)
mit \(\deg S<\deg B\).
\cite{Satz~3.16}
[/latex] [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[\dots\]
\hfill mit \(\deg S<\deg B\).
[/latex] [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
A = B\cdot Q + S
\]
\hfill mit \(\deg S<\deg B\).
\cite{Satz~3.16}
[/latex] [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
A = B\cdot Q + S
\]
\begin{center}
mit \hide{deg S < deg B}.
\end{center}
[/latex] [latex]
\textbf{Polynomdivison mit Rest}
Seien \(A,B\in R[X]\). Falls der Leitkoeffizient von \(B\) eine Einheit ist, so besitzt \(A\) eine eindeutige Darstellung der Form
\[
A = B\cdot Q + S
\]
\begin{center}
mit \(\deg S<\deg B\).
\end{center}
\cite{Satz~3.16}
[/latex] LinA-I-03-Ringe Satz
d1ef07f4-4c71-11ec-81d3-0242ac130003 [latex]
Ist \(r\in R\) eine Nullstelle von \(A\in R[X]\), so ist
\[
A = \hide{(X-r)\cdot Q}
\]
[/latex] [latex]
Ist \(r\in R\) eine Nullstelle von \(A\in R[X]\), so ist
\[
A = (X-r)\cdot Q
\]
für ein \(Q\in R[X]\).
\cite{Satz~3.19}
[/latex] LinA-I-03-Ringe Satz
43fcef8c-4c72-11ec-81d3-0242ac130003 [latex]
Ein Polynom \(A\neq 0\) \hide{über einem Körper } hat höchstens \(\deg(A)\) verschiedene Nullstellen.
[/latex] [latex]
Ein Polynom \(A\neq 0\) über einem Körper hat höchstens \(\deg(A)\) verschiedene Nullstellen.
\cite{Korollar~3.20}
[/latex] [latex]
Ein Polynom \(A\neq 0\) über einem Körper hat \hide{höchstens \(\deg(A)\) } verschiedene Nullstellen.
[/latex] [latex]
Ein Polynom \(A\neq 0\) über einem Körper hat höchstens \(\deg(A)\) verschiedene Nullstellen.
\cite{Korollar~3.20}
[/latex] LinA-I-03-Ringe Satz
f92b3ad0-7fdc-4cae-a568-782fc2966fee [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
\begin{enumerate}[(i)]
\item einer Menge \(V\)
\item \(\dots\)
\item einer „Skalarmultiplikation“ \(\cdot\colon K\times V\to V\)
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
\begin{enumerate}[(i)]
\item einer Menge \(V\)
\item einer „Addition“ \(+\colon V\times V\to V\)
\item einer „Skalarmultiplikation“ \(\cdot\colon K\times V\to V\)
\end{enumerate}
\cite{Def.~4.1}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
\begin{enumerate}[(i)]
\item einer Menge \(V\)
\item einer „Addition“ \(+\colon V\times V\to V\)
\item \(\dots\)
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Vektorraum} über einem Körper \(K\) besteht aus den folgenden drei Daten:
\begin{enumerate}[(i)]
\item einer Menge \(V\)
\item einer „Addition“ \(+\colon V\times V\to V\)
\item einer „Skalarmultiplikation“ \(\cdot\colon K\times V\to V\)
\end{enumerate}
\cite{Def.~4.1}
[/latex] Def LinA-I-04-Vektorräume
98f1bbf3-cc6c-4340-94a4-9444605ddc66 [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist \(\dots\)
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex] [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
\cite{Def.~4.1}
[/latex] [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(\dots\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex] [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
\cite{Def.~4.1}
[/latex] [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \(\dots\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex] [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
\cite{Def.~4.1}
[/latex] [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \(\dots\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex] [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
\cite{Def.~4.1}
[/latex] [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(\dots\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
[/latex] [latex]
Ein \(K\)-\textbf{Vektorraum} \((V,+,\cdot)\) muss folgenden Axiomen genügen:
\begin{itemize}
\item[(V0)] \((V,+)\) ist eine \emph{abelsche} Gruppe
\item[(V1)] \(r\cdot(\vec u + \vec v) = r\cdot\vec u + r\cdot\vec v\)
\item[(V2)] \((r+s)\cdot \vec v = r\cdot \vec v + s \cdot \vec v\)
\item[(V3)] \((rs)\cdot \vec v = r\cdot (s\cdot \vec v )\)
\item[(V4)] \(1\cdot \vec v = \vec v\)
\end{itemize}
für alle \(\vec u, \vec v\in V\) und alle \(r, s\in K\).
\cite{Def.~4.1}
[/latex] Def LinA-I-04-Vektorräume
e2b73d76-4c72-11ec-81d3-0242ac130003 [latex]
Ein \textbf{Untervektorraum} eines Vektorraums \(V\) über \(K\) ist eine Untergruppe \(U\) von \((V,+)\)\hide{, auf die sich die Skalarmultiplikation von \(V\) einschränken lässt, und die zusammen mit dieser einsgeschränkten Skalarmultiplikation selbst ein Vektorraum über \(K\) ist.}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Untervektorraum} eines Vektorraums \(V\) über \(K\) ist eine Untergruppe \(U\) von \((V,+)\), auf die sich die Skalarmultiplikation von \(V\) einschränken lässt, und die zusammen mit dieser eingeschränkten Skalarmultiplikation selbst ein Vektorraum über \(K\) ist.
\cite{Def.~4.4}
[/latex] Def LinA-I-04-Vektorräume
a2ad65ba-4c73-11ec-81d3-0242ac130003 [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\dots\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\) für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U \) für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\) für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U \) für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~4.5}
[/latex] [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\dots\)
\item
\(s\vec u \in U \)\quad für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\)\quad für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U \)\quad für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~4.5}
[/latex] [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\)\quad für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(\dots\)
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
Eine Teilmenge \(U\) eines \(K\)-Vektorraums \(V\) ist genau dann ein Untervektorraum, wenn gilt:
\begin{enumerate}[(i)]
\item
\(\vec 0\in U\)
\item
\(\vec u_1 + \vec u_2 \in U\)\quad für alle \(\vec u_1, \vec u_2 \in U\)
\item
\(s\vec u \in U\)\quad für alle \(\vec u\in U\), \(s\in K\)
\end{enumerate}
\cite{Notiz~4.5}
[/latex] LinA-I-04-Vektorräume Satz
003674e5-4d2b-4b4c-8256-b9add79ff2e9 [latex]
Ein Schnitt beliebiger Untervektorräume ist \hide{wieder ein Untervektorraum.}
Eine Vereinigung beliebiger Untervektorräume ist \hide{im Allgemeinen kein Untervektorraum.}
[/latex] [latex]
Ein Schnitt beliebiger Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum.
Eine Vereinigung beliebiger Untervektorräume ist im Allgemeinen kein Untervektorraum.
\cite{Satz~4.6}
[/latex] [latex]
Eine Vereinigung beliebiger Untervektorräume ist \hide{im Allgemeinen kein Untervektorraum.}
Ein Schnitt beliebiger Untervektorräume ist \hide{wieder ein Untervektorraum.}
[/latex] [latex]
Eine Vereinigung beliebiger Untervektorräume ist im Allgemeinen kein Untervektorraum.
Ein Schnitt beliebiger Untervektorräume ist wieder ein Untervektorraum.
\cite{Satz~4.6}
[/latex] LinA-I-04-Vektorräume Satz
80132b71-d444-46b2-9fbe-c8ee04b42546 [latex]
Eine \textbf{Linearkombination} von Vektoren aus einer Menge \(M\) ist \hide{eine endliche Summe von skalaren Vielfachen dieser Vektoren:}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Linearkombination} von Vektoren aus einer Menge \(M\) ist eine endliche Summe von skalaren Vielfachen dieser Vektoren:
\[
\overset{\mathclap{\substack{\text{Skalare}\\\downarrow}}}{s_1}
\underset{\mathclap{\substack{\uparrow\\\text{gegebene}\\\text{Vektoren}}}}{\vec v_1} + \dots + s_n {\vec v_n}
\]
(also \(n\in \NN_0\), \(s_1,\dots,s_n \in K\), \(\vec v_1,\dots,\vec v_n \in M\))
[/latex] [latex]
Die \textbf{lineare Hülle} \(\hull{M}\) einer Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist per Definition die Menge \hide{aller Linearkombinationen von Vektoren aus \(M\).}
[/latex] [latex]
Die \textbf{lineare Hülle} \(\hull{M}\) einer Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist per Definition die Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus \(M\).
\[
\hull{M} = \left\{ \sum_{i=1}^n s_i \vec v_i \;\middle\vert\; n\in \NN_0, s_i \in K, \vec v_i \in M \right\}
\]
[/latex] Def LinA-I-04-Vektorräume
5a8d802c-f58f-4892-a195-479c822bf2de [latex]
\textbf{Charakterisierung der Hülle}
Die lineare Hülle \(\hull{M}\) ist der \hide{kleinste Untervektorraum, der \(M\) enthält.}
[/latex] [latex]
\textbf{Charakterisierung der Hülle}
Die lineare Hülle \(\hull{M}\) ist der kleinste Untervektorraum, der \(M\) enthält.
\cite{Satz~4.9}
[/latex] LinA-I-04-Vektorräume Satz
f197fc0b-f745-4be3-8500-5bf434e87533 [latex]
Die \textbf{interne Summe} von Untervektorräumen \(U_i \subset V\) ist \hide{die lineare Hülle ihrer Vereinigung:}
[/latex] [latex]
Die \textbf{interne Summe} von Untervektorräumen \(U_i \subset V\) ist die lineare Hülle ihrer Vereinigung:
\[
\sum_i U_i := \hull{\bigcup_i U_i}
\]
\cite{Def.~4.10}
[/latex] Def LinA-I-04-Vektorräume
bf53a267-088e-473c-aa22-0778cfb61d87 [latex]
Ein \textbf{Vektorraumhomomorphismus}\slash\\\mbox{}\hfill eine \textbf{\(K\)-lineare Abbildung}\\
ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen \(f\colon V\to W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \hide{\(f(\vec v + \vec v') = f(\vec v) + f(\vec v')\) für alle \(\vec v, \vec v' \in V\), und}
\item[(2)] \(f(s\vec v) = sf(\vec v)\) für alle \(s\in K\), \(\vec v\in V\).
\end{itemize}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Vektorraumhomomorphismus}\slash\\\mbox{}\hfill eine \textbf{\(K\)-lineare Abbildung}\\
ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen \(f\colon V\to W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \(f(\vec v + \vec v') = f(\vec v) + f(\vec v')\) für alle \(\vec v, \vec v' \in V\), und
\item[(2)] \(f(s\vec v) = sf(\vec v)\) für alle \(s\in K\), \(\vec v\in V\).
\end{itemize}
\cite{Def.~4.12}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Vektorraumhomomorphismus}\slash\\\mbox{}\hfill eine \textbf{\(K\)-lineare Abbildung}\\
ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen \(f\colon V\to W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \(f(\vec v + \vec v') = f(\vec v) + f(\vec v')\) für alle \(\vec v, \vec v' \in V\), und
\item[(2)] \hide{\(f(s\vec v) = sf(\vec v)\) für alle \(s\in K\), \(\vec v\in V\).}
\end{itemize}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Vektorraumhomomorphismus}\slash\\\mbox{}\hfill eine \textbf{\(K\)-lineare Abbildung}\\
ist eine Abbildung zwischen \(K\)-Vektorräumen \(f\colon V\to W\), für die gilt:
\begin{itemize}
\item[(1)] \(f(\vec v + \vec v') = f(\vec v) + f(\vec v')\) für alle \(\vec v, \vec v' \in V\), und
\item[(2)] \(f(s\vec v) = sf(\vec v)\) für alle \(s\in K\), \(\vec v\in V\).
\end{itemize}
\cite{Def.~4.12}
[/latex] Def LinA-I-04-Vektorräume
c4d953fb-9697-4a5a-a6a6-f43be23ecd0a [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Isomorphismus} ist eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\), für die \hide{eine lineare Umkehrabbildung \(V\from W \noloc g\) existiert (also \(f\circ g=\id\) und \(g\circ f=\id\)).}
[/latex] [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Isomorphismus} ist eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\), für die eine lineare Umkehrabbildung \(V\from W \noloc g\) existiert (also \(f\circ g=\id\) und \(g\circ f=\id\)).
\cite{Def.~4.14}
[/latex] Def LinA-I-04-Vektorräume
c97737b9-2c80-4ff3-a139-361c35fc4ced [latex]
Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Isomorphismus, wenn sie \hide{bijektiv} ist.
[/latex] [latex]
Eine lineare Abbildung ist genau dann ein Isomorphismus, wenn sie \emph{bijektiv} ist.
\cite{Satz.~4.15}
[/latex] LinA-I-04-Vektorräume Satz
cd95fade-38c5-4a8c-beb6-e94e2eb227f4 [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Monomorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex] [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Monomorphismus} ist eine \emph{injektive} lineare Abbildung.
\cite{Def.~4.15}
[/latex] [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Epimorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex] [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Epimorphismus} ist eine \emph{surjektive} lineare Abbildung.
\cite{Def.~4.15}
[/latex] [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Endomorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex] [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Endomorphismus} ist eine lineare Abbildung mit gleichem Definitions- und Werteraum: \[V\to V\]
\cite{Def.~4.15}
[/latex] [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Automorphismus} ist eine \(\dots\)
[/latex] [latex]
Ein Vektorraum-\textbf{Automorphismus} ist ein Vektorraum-Isomorphismus mit gleichem Definitions- und Werteraum: \[V\xrightarrow{\cong} V\]
\cite{Def.~4.15}
[/latex] Def LinA-I-04-Vektorräume
761d0bae-9704-46b4-a58f-d8f9e399ea6b [latex]
\textbf{Injektivitätskriterium}
Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn \(\dots\)
[/latex] [latex]
\textbf{Injektivitätskriterium}
Eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn ihr Kern trivial ist (also nur aus dem Nullvektor besteht).
\cite{Satz~4.17}
[/latex] LinA-I-04-Vektorräume Satz
e4117561-dc86-4208-82ec-3186dfdb48c2 [latex]
Das \textbf{Produkt} von \(K\)-Vektorräumen \(V_i\) ist das kartesische Produkt \(\prod_i V_i\), ausgestattet mit \hide{komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.}
[/latex] [latex]
Das \textbf{Produkt} von \(K\)-Vektorräumen \(V_i\) ist das kartesische Produkt \(\prod_i V_i\), ausgestattet mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.
\cite{Def.~4.18, 4.19}
[/latex] [latex]
Die \textbf{Summe} von \(K\)-Vektorräumen \(V_i\) ist \hide{der Untervektorraum}
[/latex] [latex]
Die \textbf{Summe} von \(K\)-Vektorräumen \(V_i\) ist der Untervektorraum
\[
\bigoplus_{i\in I} V_i \subseteq \prod_i V_i,
\]
der nur aus denjenigen Tuplen besteht, bei denen nur endlich viele Einträge ungleich \(\vec 0\) sind.
\cite{Def.~4.19}
[/latex] Def LinA-I-04-Vektorräume
06d3568c-819b-4ad2-88ea-48f0be3f9e01 [latex]
Ein \textbf{Erzeugendensystem} eines Vektorraums ist ein Tupel von Vektoren, \(\dots\) \hint{Hülle}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Erzeugendensystem} eines Vektorraums ist ein Tupel von Vektoren, deren lineare Hülle der ganze Vektorraum ist.
\cite{Def.~5.1}
[/latex] [latex]
Ein Tupel von Vektoren ist \textbf{linear unabhängig}, falls \(\dots\) \hint{kombinieren}
[/latex] [latex]
Ein Tupel von Vektoren ist \textbf{linear unabhängig}, falls sich die Vektoren nur auf triviale Weise zum Nullvektor linear kombinieren lassen.
\cite{Def.~5.1}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Basis} eines Vektorraums ist \hide{ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.}
[/latex] [latex]
Eine \textbf{Basis} eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.
\cite{Def.~5.1}
[/latex] Def LinA-I-05-Basen
cf1b6a6b-0e1f-428c-926f-80848dd103cc [latex]
Eine Tupel von Vektoren ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(V\), wenn \(\dots\) \hint{Darstellung}
[/latex] [latex]
Ein Tupel von Vektoren ist genau dann ein Erzeugendensystem, wenn jeder Vektor aus \(V\) \emph{mindestens} eine Darstellung als Linearkombination der Vektoren des Tupels besitzt.
\cite{Satz~5.3}
[/latex] [latex]
Ein Tupel von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn \(\dots\) \hint{Darstellung}
[/latex] [latex]
Ein Tupel von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn jeder Vektor \emph{höchstens} eine Darstellung als Linearkombination von Vektoren des Tupels besitzt.
\cite{Satz~5.3}
[/latex] [latex]
Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann eine Basis, wenn \(\dots\) \hint{Darstellung}
[/latex] [latex]
Eine Teilmenge \(M\) eines Vektorraums ist genau dann eine Basis, wenn jeder Vektor \emph{genau} eine Darstellung als Linearkombination
von Vektoren aus \(M\) besitzt.
\cite{Satz~5.3}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
28ade307-ba8f-4d1a-8ab1-856e3fadb49f [latex]
Eine Basis ist ein \emph{m\hide{inimales}} Erzeugendensystem.
[/latex] [latex]
Eine Basis ist ein \emph{minimales} Erzeugendensystem.
\cite{Satz~5.6}
[/latex] [latex]
Eine Basis ist ein \emph{m\hide{aximales}} linear unabhängiges Tupel.
[/latex] [latex]
Eine Basis ist ein \emph{maximales} linear unabhängiges Tupel.
\cite{Satz~5.6}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
68ead6d1-124d-47cb-a1da-87106a4c9be1 [latex]
Die \textbf{Dimension} eines Vektorraums ist \(\dots\)
[/latex] [latex]
Die \textbf{Dimension} eines Vektorraums ist die Länge einer Basis \((\vec v_i)_{i\in I}\)
(also die „Anzahl der Elemente“ in der Basis bzw. die Kardinalität der Indexmenge \(I\)).
\cite{Def.~5.10}
[/latex] Def LinA-I-05-Basen
a000f686-1728-471a-8fd0-66f086ce7099 [latex]
\textbf{Basisauswahlsatz}
[/latex] [latex]
\textbf{Basisauswahlsatz}
Jedes Erzeugendensystem enthält eine Basis.
\cite{Satz~5.7}
[/latex] [latex]
\textbf{Basisergänzungssatz}
[/latex] [latex]
\textbf{Basisergänzungssatz}
Jedes linear unabhängige Tupel lässt sich zu einer Basis ergänzen.
\cite{Satz~5.7}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
9fb32049-6973-420b-9f39-065ad3fcd4da [latex]
\textbf{Dimensionssatz}
\hint{Basen}
[/latex] [latex]
\textbf{Dimensionssatz}
Alle Basen eines Vektorraums haben dieselbe Länge.
\cite{Satz~5.8}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
7e37bd5e-0b71-4cd9-8bfc-ed7016499fcc [latex]
Ein Vektorraum heißt \textbf{endlich-erzeugt}, falls \hide{er ein endliches Erzeugendensystem\slash eine endliche Basis besitzt.}
[/latex] [latex]
Ein Vektorraum heißt \textbf{endlich-erzeugt}, falls er ein endliches Erzeugendensystem\slash eine endliche Basis besitzt.
\medskip
(äquivalent: \textbf{endlich-dimensional})
\cite{Def.~5.9}
[/latex] Def LinA-I-05-Basen
9a485600-df7e-4967-9496-abd0a67f7b3b [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Ein linear unabhängiges Tupel eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn \hint{Länge}\hide{seine Länge der Dimension des Vektorraums entspricht.}
[/latex] [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Ein linear unabhängiges Tupel eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn seine Länge der Dimension des Vektorraums entspricht.
\cite{Satz~5.13}
[/latex] [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Ein Erzeugendensystem eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn \hint{Länge}\hide{seine Länge der Dimension des Vektorraums entspricht.}
[/latex] [latex]
\textbf{Basiskriterium}
Ein Erzeugendensystem eines endlich-dimen\-sio\-nalen Vektorraums \(V\) ist genau dann eine Basis, wenn seine Länge der Dimension des Vektorraums entspricht.
\cite{Satz~5.13}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
2af66238-9d13-4f8c-8e4a-3d23b33209f9 [latex]
\textbf{Steinitsches Austauschlemma}
Sei \((\vec b_1,\dots,\vec b_d)\) eine Basis,
\[
\vec u = s_1 \vec b_1 + \dots + s_d \vec b_d
\]
ein beliebiger Vektor. Falls \(s_k\neq 0\)\hide{, erhalten wir eine neue Basis, indem wir \(\vec b_k\) gegen \(\vec u\) austauschen.}
[/latex] [latex]
\textbf{Steinitsches Austauschlemma}
Sei \((\vec b_1,\dots,\vec b_d)\) eine Basis,
\[
\vec u = s_1 \vec b_1 + \dots + s_d \vec b_d
\]
ein beliebiger Vektor. Falls \(s_k\neq 0\), erhalten wir eine neue Basis, indem wir \(\vec b_k\) gegen \(\vec u\) austauschen.
\cite{Lemma~5.11}
[/latex] [latex]
\textbf{Steinitsches Austauschlemma}
Sei \((\vec b_1,\dots,\vec b_d)\) eine Basis,
\[
\vec u = s_1 \vec b_1 + \dots + s_d \vec b_d
\]
ein beliebiger Vektor. Falls \hide{\(s_k\neq 0\)}, erhalten wir eine neue Basis, indem wir \(\vec b_k\) gegen \(\vec u\) austauschen.
[/latex] [latex]
\textbf{Steinitsches Austauschlemma}
Sei \((\vec b_1,\dots,\vec b_d)\) eine Basis,
\[
\vec u = s_1 \vec b_1 + \dots + s_d \vec b_d
\]
ein beliebiger Vektor. Falls \(s_k\neq 0\), erhalten wir eine neue Basis, indem wir \(\vec b_k\) gegen \(\vec u\) austauschen.
\cite{Lemma~5.11}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
c4d1b295-83ee-44af-a81f-7c1d99b9f940 [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für Untervektorräume \(U_1\), \(U_2\) eines Vektorraums gilt:
\[
\dim (U_1 + U_2) = \phantom{\dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1\cap U_2)}
\]
[/latex] [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für Untervektorräume \(U_1\), \(U_2\) eines Vektorraums gilt:
\[
\dim (U_1 + U_2) = \dim U_1 + \dim U_2 - \dim (U_1\cap U_2)
\]
\cite{Satz~5.14}
[/latex] [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für einen Quotientenvektorraum gilt:
\[
\dim (V/U) = \phantom{\dim V - \dim U.}
\]
[/latex] [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
Für einen Quotientenvektorraum gilt:
\[
\dim (V/U) = \dim V - \dim U.
\]
\cite{Satz~5.14}
[/latex] [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
\[
\dim(V_1\oplus V_2) = \phantom{\dim(V_1) + \dim(V_2)}
\]
[/latex] [latex]
\textbf{Dimensionsformel}
\[
\dim(V_1\oplus V_2) = \dim(V_1) + \dim(V_2)
\]
\cite{Satz~5.14}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
45725556-41f7-4de2-af89-211039f726cc [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist surjektiv.
\item \(f\) bildet \dots \hint{``Minimalforderung''}
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist surjektiv.
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\end{itemize}
\cite{Satz~5.16}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist surjektiv.
\item \(f\) bildet \dots \hint{``Maximalforderung''}
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist surjektiv.
\item \(f\) bildet \emph{jedes} Erzeugendensystems von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\end{itemize}
\cite{Satz~5.16}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist \hide{surjektiv. }
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder von Erzeugendensystemen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist surjektiv.
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf ein Erzeugendensystem von \(W\).
\end{itemize}
\cite{Satz~5.16}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
26d76492-5aac-4857-88f7-8e98704c20e6 [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist injektiv.
\item \(f\) bildet \dots \hint{Minimalforderung}
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist injektiv.
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie.
\end{itemize}
\cite{Satz~5.16}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist injektiv.
\item \(f\) bildet \dots \hint{Maximalforderung}
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist injektiv.
\item \(f\) bildet \emph{jede} linear unabhängige Familie aus \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie in \(W\).
\end{itemize}
\cite{Satz~5.16}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist \hide{injektiv. }
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie.
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist injektiv.
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine linear unabhängige Familie.
\end{itemize}
\cite{Satz~5.16}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
fe46bdf4-3ac6-4e72-8190-7ce2200a6273 [latex]
\textbf{Bilder von Basen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) bildet \dots \hint{Minimalforderung}
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder von Basen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) bildet \dots \hint{Maximalforderung}
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) bildet \emph{jede} Basis von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder von Basen}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist \hide{ein Isomorphismus. }
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex] [latex]
\textbf{Bilder linear unabhängiger Tupel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) sind äquivalent:
\begin{itemize}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus\slash bijektiv.
\item \(f\) bildet \emph{eine Basis} von \(V\) ab auf eine Basis von \(W\).
\end{itemize}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
147646df-1568-4f6d-a39b-609717c410ad [latex]
Der \textbf{Rang} einer linearen Abbildung ist \(\dots\)
[/latex] [latex]
Der \textbf{Rang} einer linearen Abbildung ist die Dimension ihres Bildes.
\cite{Def.~5.18}
[/latex] Def LinA-I-05-Basen
b21fe50f-21c2-4a08-8100-2c09ee69bf74 [latex]
\textbf{Rangformel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) gilt:
\[
\rank(f) = \phantom{\dim V - \dim(\ker f)}
\]
[/latex] [latex]
\textbf{Rangformel}
Für eine lineare Abbildung \(f\colon V\to W\) gilt:
\[
\rank(f) = \dim V - \dim(\ker f)
\]
\cite{Satz~5.17}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
ac1b12b6-a052-4657-8205-212b7de35988 [latex]
\textbf{Isomorphismuskriterium}
Sind $V$ und $W$ \hide{endlich-dimensionale} Vektorräume derselben Dimension, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) ist ein Monomorphismus.
\item \(f\) ist ein Epimorphismus.
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
\textbf{Isomorphismuskriterium}
Sind $V$ und $W$ endlich-dimensionale Vektorräume derselben Dimension, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) ist ein Monomorphismus.
\item \(f\) ist ein Epimorphismus.
\end{enumerate}
\cite{Korollar~5.19}
[/latex] [latex]
\textbf{Isomorphismuskriterium}
Sind $V$ und $W$ endlich-dimensionale Vektorräume \hide{derselben Dimension}, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) ist ein Monomorphismus.
\item \(f\) ist ein Epimorphismus.
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
\textbf{Isomorphismuskriterium}
Sind $V$ und $W$ endlich-dimensionale Vektorräume derselben Dimension, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) ist ein Monomorphismus.
\item \(f\) ist ein Epimorphismus.
\end{enumerate}
\cite{Korollar~5.19}
[/latex] [latex]
\textbf{Isomorphismuskriterium}
Sind $V$ und $W$ endlich-dimensionale Vektorräume derselben Dimension, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \hide{\(f\) ist ein Monomorphismus.}
\item \hide{\(f\) ist ein Epimorphismus.}
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
\textbf{Isomorphismuskriterium}
Sind $V$ und $W$ endlich-dimensionale Vektorräume derselben Dimension, so sind die folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung \(f\colon V\to W\) äquivalent:
\begin{enumerate}
\item \(f\) ist ein Isomorphismus.
\item \(f\) ist ein Monomorphismus.
\item \(f\) ist ein Epimorphismus.
\end{enumerate}
\cite{Korollar~5.19}
[/latex] LinA-I-05-Basen Satz
89ebaf82-56e3-45ff-a79f-f02e933da3c2 [latex]
\textbf{Hauptsatz, Teil II}
Jede \(K\)-lineare Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) ist gegeben durch \hide{Multiplikation mit einer Matrix}.
[/latex] [latex]
\textbf{Hauptsatz, Teil II}
Jede \(K\)-lineare Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) ist gegeben durch Multiplikation mit einer Matrix.
\cite{Satz~6.4}
[/latex] [latex]
Die zu einer linearen Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) gehörige Matrix ist wie folgt gegeben:
\begin{center}
\dots
\end{center}
[/latex] [latex]
Die zu einer linearen Abbildung \(f\colon K^n\to K^m\) gehörige Matrix ist wie folgt gegeben:
\begin{center}
Spalte \(j\) der Matrix ist das Bild \(f(\vec v_j)\) des \(j\)-ten Standardbasisvektors.
\end{center}
\cite{Beweis zu Satz~6.4}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
7f8deb98-1941-4951-b23f-024389323bd2 [latex]
Das Produkt zweier Matrizen entspricht \hide{der Komposition} der durch sie definierten linearen Abbildungen.
[/latex] [latex]
Das Produkt zweier Matrizen entspricht \emph{der Komposition} der durch sie definierten linearen Abbildungen.
\cite{Satz~6.9}
[/latex] [latex]
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die durch sie definierte lineare Abbildung \hide{ein Isomorphismus ist.}
[/latex] [latex]
Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn die durch sie definierte lineare Abbildung ein Isomorphismus ist.
\cite{Notiz~6.12}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
c0ecbb3e-484f-412d-87d7-4675d277c717 [latex]
Der \textbf{Rang} einer Matrix ist \hide{der Rang der durch sie definierten linearen Abbildung.}
[/latex] [latex]
Der \textbf{Rang} einer Matrix ist der Rang der durch sie definierten linearen Abbildung.
\medskip
(oder: die Dimension des durch ihre Spalten erzeugten Unterraums)
\cite{Def.~6.13 (oder Satz~6.33)}
[/latex] Def LinA-I-06-Matrizen
86145472-72d1-4d8c-813a-7046839fe79c [latex]
Ein \textbf{homogenes} lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssytem der Form \hide{\(A\cdot \vec x = \vec 0\).}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{homogenes} lineares Gleichungssystem ist ein Gleichungssytem der Form \(A\cdot \vec x = \vec 0\).
\cite{Def.~6.14}
[/latex] Def LinA-I-06-Matrizen
30ab0bb6-37d2-468b-a597-fddd4466e4d7 [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A) := \phantom{\{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec 0\}.}
\]
[/latex] [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines homogenen linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A) := \{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec 0\}.
\]
\cite{Def.~6.14}
[/latex] [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A,\vec b) := \phantom{\{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec b\}.}
\]
[/latex] [latex]
Der \textbf{Lösungsraum} eines linearen Gleichungssytems ist definiert als
\[
\Lraum(A,\vec b) := \{\vec x \mid A\cdot \vec x = \vec b\}.
\]
\cite{Def.~6.14}
[/latex] Def LinA-I-06-Matrizen
a58454f9-5828-4930-a887-b88bb27039c2 [latex]
Der Lösungsraum \(\Lraum(A)\) eines homogenen linearen Gleichungssystems ist ein Vektorraum der Dimension
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Der Lösungsraum \(\Lraum(A)\) eines homogenen linearen Gleichungssystems ist ein Vektorraum der Dimension
\[(\text{Anzahl der Unbestimmten})-\rank(A)\]
(oder, äquivalent:
\[(\text{Anzahl der Spalten von \(A\)})-\rank(A)\]
)
\cite{Satz~6.15}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
65eaa698-0500-4755-bfa3-084f9a67e8a6 [latex]
Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\[
\Lraum(A,\vec b) =
\phantom{
\underset{\substack{\uparrow\\\text{irgendeine}\\\text{Lösung des}\\\text{inhomogenen}\\\text{LGS}}}
{\vec x_0}
+
\underset{\substack{\uparrow\\\text{Lösungsraum}\\\text{des homogenen}\\\text{LGS}}}
{\Lraum(A)}
}
\]
[/latex] [latex]
Sofern ein LGS überhaupt eine Lösung besitzt, so ist sein Lösungsraum von der Form
\[
\Lraum(A,\vec b) =
\underset{\substack{\uparrow\\\text{irgendeine}\\\text{Lösung des}\\\text{inhomogenen}\\\text{LGS}}}
{\vec x_0}
+
\underset{\substack{\uparrow\\\text{Lösungsraum}\\\text{des homogenen}\\\text{LGS}}}
{\Lraum(A)}
\]
\cite{Satz~6.17}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
392a8cf0-a1a4-4ccf-804b-a74d6af31422 [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] \hide{Tausche zwei Zeilen.}
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
[/latex] [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
\cite{Def.~6.18}
[/latex] [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] \hide{Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).}
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
[/latex] [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \textcolor{red}{\(\neq 0\)}.
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.
\end{description}
\cite{Def.~6.18}
[/latex] [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] \hide{Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer anderen.}
\end{description}
[/latex] [latex]
\textbf{Elementare Zeilentransformationen}
\begin{description}
\item[Vertauschen] Tausche zwei Zeilen.
\item[Skalieren] Multipliziere eine Zeile mit einem Skalar \(\neq 0\).
\item[Addieren] Addiere ein Vielfaches einer Zeile zu einer \textcolor{red}{anderen}.
\end{description}
\cite{Def.~6.18}
[/latex] Def LinA-I-06-Matrizen
0150727f-c489-4f87-ba8a-39a4df3b803a [latex]
(Elementare) \emph{Zeilen}transformationen entsprechen
\begin{center}\hide{Links}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
[/latex] [latex]
(Elementare) \emph{Zeilen}transformationen entsprechen
\begin{center}\emph{Links}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
\cite{Satz~6.20}
[/latex] [latex]
(Elementare) \emph{Spalten}transformationen entsprechen
\begin{center}\hide{Rechts}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
[/latex] [latex]
(Elementare) \emph{Spalten}transformationen entsprechen
\begin{center}\emph{Rechts}-Multiplikation mit\end{center}
(Elementar-)\allowbreak Matrizen.
\cite{Satz~6.20}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
b474d826-3791-4706-9d9f-0097c1c2663d [latex]
Der Rang einer Matrix ist invariant unter
\begin{center}
\dots-transformationen.
\end{center}
[/latex] [latex]
Der Rang einer Matrix ist invariant unter
\begin{center}
\emph{Zeilen- und Spalten}transformationen.
\end{center}
\cite{Korollar~6.22}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
d33886db-e0fc-44f6-8d8e-d8c067b9f109 [latex]
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist invariant unter
\begin{center}
\dots-transformationen.
\end{center}
[/latex] [latex]
Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist invariant unter
\begin{center}
\emph{Zeilen}transformationen.
\end{center}
\cite{Korollar~6.24}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
75b3f0d0-6ec4-4ffa-956e-19207bc16374 [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilenstufenform} (ZSF) ist eine Matrix, in der \hide{die Anzahl der führenden Nullen von Zeile zu Zeile steigt (solange sie steigen kann).}
[/latex] [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilenstufenform} (ZSF) ist eine Matrix, in der die Anzahl der führenden Nullen von Zeile zu Zeile steigt (solange sie steigen kann).
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \textcolor{red}{a_1} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_2} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_3} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\[
\textcolor{red}{a_i\neq 0}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex] [latex]
Die \textbf{Pivot-Elemente} („Piwo“) einer Matrix in Zeilenstufenform sind \hide{sind jeweils die ersten Einträge jeder Zeile, die ungleich Null sind.}
[/latex] [latex]
Die \textbf{Pivot-Elemente} („Piwo“) einer Matrix in Zeilenstufenform sind jeweils die ersten Einträge jeder Zeile, die ungleich Null sind.
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \textcolor{red}{a_1} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_2} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{a_3} & \blacksquare & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\[
\text{Pivot-Elemente: } \textcolor{red}{a_1, a_2, a_3 \,(\neq 0)}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex] [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilennormalform} (ZNF) ist eine Matrix \hide{in Zeilenstufenform, in der oberhalb jedes Pivot-Elements nur Nullen stehen.}
[/latex] [latex]
Eine Matrix in \textbf{Zeilennormalform} (ZNF) ist eine Matrix in Zeilenstufenform, in der alle Pivot-Element \(1\) sind und oberhalb jedes Pivot-Elements nur Nullen stehen.
\[
\begin{pmatrix}
0 & 0 & \textcolor{red}{1} & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{1} & \blacksquare & \blacksquare & 0 & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{1} & \blacksquare & \blacksquare \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\cite{Def.~6.25}
[/latex] [latex]
Eine Matrix in \textbf{Normalform} ist eine Matrix der folgenden Gestalt:
\[\dots\]
[/latex] [latex]
Eine Matrix in \textbf{Normalform} ist eine Matrix der folgenden Gestalt:
\[
\begin{pmatrix}
\mathbbm{1}_r & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
\]
(\(\mathbbm{1}_r = \) Einheitsmatrix\\
\phantom{(}\( 0 = \) Nullmatrix beliebiger Größe)
\cite{Def.~6.25}
[/latex] Def LinA-I-06-Matrizen
b75d122a-9016-466d-81a1-900be28effc8 [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}\(\dots\)\end{center}
\hfill auf Zeilennormalform bringen.
[/latex] [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}Zeilentransformationen\end{center}
\hfill auf Zeilennormalform bringen.
\cite{Satz~6.26\slash Gaußsches Eliminationsverfahren}
[/latex] [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}\(\dots\)\end{center}
\hfill auf Normalform bringen.
[/latex] [latex]
Jede Matrix lässt sich durch
\begin{center}Zeilen- \emph{und} Spaltentransformationen\end{center}
\hfill auf Normalform bringen.
\cite{Satz~6.26\slash Gaußsches Eliminationsverfahren}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
aab41fb3-548c-43af-86d6-05cb7cacf5bb [latex]
Für eine Matrix in Zeilennormalform ist der Rang gleich \hide{der Anzahl der Pivot-Elemente.}
[/latex] [latex]
Für eine Matrix in Zeilennormalform ist der Rang gleich der Anzahl der Pivot-Elemente.
\cite{Rezept~6.27}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
49dbc60b-3426-4321-b66e-0980fca9948e [latex]
Die \textbf{Transponierte} einer Matrix erhält man durch \hide{Vertauschen von Zeilen und Spalten.}
[/latex] [latex]
Die \textbf{Transponierte} einer Matrix erhält man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten.
\[
\begin{pmatrix}
a_1& a_2&a_3& a_4\\
b_1& b_2&b_3& b_4\\
c_1& c_2&c_3& c_4\\
\end{pmatrix}^T
=
\begin{pmatrix}
a_1&b_1&c_1\\
a_2&b_2&c_2\\
a_3&b_3&c_3\\
a_4&b_4&c_4
\end{pmatrix}
\]
\cite{Def.~6.30}
[/latex] Def LinA-I-06-Matrizen
cd4175e3-dab3-4bf0-b2a4-638c970329a8 [latex]
Für Matrizen \(A\) und \(B\) gilt:
\[
(A\cdot B)^T = \phantom{B^T \cdot A^T}
\]
[/latex] [latex]
Für Matrizen \(A\) und \(B\) gilt:
\[
(A\cdot B)^T = B^T \cdot A^T
\]
\cite{Notiz~6.31}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
b1c488a6-12c1-439f-b78b-fd1fe3ae6e51 [latex]
Der \textbf{Spaltenrang} einer Matrix ist \hide{die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Spalten erzeugt wird.}
[/latex] [latex]
Der \textbf{Spaltenrang} einer Matrix ist die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Spalten erzeugt wird.
\cite{Def.~6.32}
[/latex] [latex]
Der \textbf{Zeilenrang} einer Matrix ist \hide{die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Zeilen erzeugt wird.}
[/latex] [latex]
Der \textbf{Zeilenrang} einer Matrix ist die Dimension des (Unter)Vektorraums, der durch ihre Zeilen erzeugt wird.
\cite{Def.~6.32}
[/latex] Def LinA-I-06-Matrizen
38514360-56b1-4a7b-89be-f1c04daf698a [latex]
\textbf{Rangsatz} (für Matrizen)
[/latex] [latex]
\textbf{Rangsatz}
Für jede Matrix ist Rang = Zeilenrang = Spaltenrang.
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
495913a3-d7ee-4ec8-b792-631c6a614040 [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Zeilenrang}, wenn \hide{ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.}
[/latex] [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Zeilenrang}, wenn ihr Rang gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
\cite{Def.~6.34}
[/latex] [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Spaltenrang}, wenn \hide{ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.}
[/latex] [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Spaltenrang}, wenn ihr Rang gleich der Zahl ihrer Spalten ist.
\cite{Def.~6.34}
[/latex] [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Rang}, wenn ihr Rang maximal, also gleich der Zahl ihrer Spalten oder gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
[/latex] [latex]
Eine Matrix hat \textbf{vollen Rang}, wenn ihr Rang maximal, also gleich der Zahl ihrer Spalten oder gleich der Zahl ihrer Zeilen ist.
\cite{Def.~6.34}
[/latex] Def LinA-I-06-Matrizen
9a6b3c08-360a-4cb5-b871-6f687881be49 [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium} (Rang)
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn \hide{sie vollen Rang hat.}
[/latex] [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium} (Rang)
Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang hat.
\cite{Satz~6.35}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
77968c0c-5f33-4382-bfa8-eb06b95295f0 [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen \hide{Spalten}rang besitzt.
[/latex] [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann linear unabhängig, wenn es als Matrix vollen \emph{Spalten}rang besitzt.
\cite{Satz~6.36}
Zum Beispiel sind die Spalten von
\[\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
2 & 8 & 0\\
0 & 0 & 9\\
7 & 30 & 0
\end{pmatrix}\]
linear unabhängig in \(\RR^6\).
[/latex] [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen \hide{Zeilen}rang besitzt.
[/latex] [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Spaltenvektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^m\) ist genau dann ein Erzeugendensystem von \(K^m\), wenn es als Matrix vollen \emph{Zeilen}rang besitzt.
\cite{Satz~6.36}
Zum Beispiel liefern die Spalten von
\[\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 2 & 5 & 8\\
0 & 1 & 0 & 2 & 0 & 3\\
0 & 0 & 1 & 3 & 7 & 1
\end{pmatrix}\]
ein Erzeugendensystem von \(\RR^3\).
[/latex] [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Vektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^n\) ist genau dann ein Basis, wenn es aufgefasst als Matrix \hide{invertierbar (oder, äquivalent: von vollem Rang) ist.}
[/latex] [latex]
Ein \(n\)-Tupel von Vektoren \((\vec v_1,\dots,\vec v_n)\) aus \(K^n\) ist genau dann ein Basis, wenn es aufgefasst als Matrix invertierbar (oder, äquivalent: von vollem Rang) ist.
\cite{Satz~6.36}
[/latex] LinA-I-06-Matrizen Satz
acb88993-6a9b-4f11-9fbd-1ee6cc855cea [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_i\) in der Gleichung
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_i \vec c_i
\]
bilden die \hide{\(k\)-te Spalte} der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\).
[/latex] [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_i\) in der Gleichung
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_i \vec c_i
\]
bilden die \(k\)-te Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\).
\cite{Satz~7.4}
[/latex] [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_{ik}\) der \(k\)-ten Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\) sind eindeutig festgelegt durch die folgende Gleichung:
[/latex] [latex]
Sei \(f\colon V\to W\) eine lineare Abbildung, und seien
\[
\underbrace{(\vec b_1,\dots,\vec b_n)}_B \text{ bzw.\ } \underbrace{(\vec c_1,\dots,\vec c_m)}_C
\]
geordnete Basen von \(V\) bzw.\ \(W\).
Die Koeffizienten \(m_{ik}\) der \(k\)-ten Spalte der darstellenden Matrix \({}_C M_B(f)\) sind eindeutig festgelegt durch die folgende Gleichung:
\[
f(\vec b_k) = \sum_i m_{ik} \vec c_i
\]
\cite{Satz~7.4}
[/latex] LinA-I-07-Basiswechsel Satz
0aa7573c-b814-47c7-a6d0-25c07182d75a [latex]
\textbf{Leibnizformel}
Die \textbf{Determinante} einer quadratischen Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j}\in\Mat_K(n\times n)\) ist gegeben durch:
\[
\det(A) = \phantom{\sum_{\sigma \in \mathbb{S_n}} \mathrm{sign}(\sigma)\cdot a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}}
\]
[/latex] [latex]
\textbf{Leibnizformel}
Die \textbf{Determinante} einer quadratischen Matrix \(A = (a_{ij})_{i,j}\in\Mat_K(n\times n)\) ist gegeben durch:
\[
\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sign}(\sigma)\cdot a_{1\sigma(1)}\cdots a_{n\sigma(n)}
\]
\cite{Def.~8.1}
[/latex] Def LinA-I-08-Determinante
b22db4fb-c9ea-49d3-b891-ba4acead7de3 [latex]
\[
\det(A^T) = \phantom{\det(A)}
\]
[/latex] [latex]
\[
\det(A^T) = \det(A)
\]
\cite{Notiz~8.3}
[/latex] LinA-I-08-Determinante Satz
ada56bb3-baa0-4cbd-a48f-3cd14adb0e74 [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist \hide{multilinear} in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
\cite{Satz~8.4}
[/latex] [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist \hide{alternierend} in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
\cite{Satz~8.4}
[/latex] [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist \hide{normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).}
\end{enumerate}
[/latex] [latex]
\textbf{Charakterisierung der Determinante}
Die Determinante ist die einzige Abbildung \[\Mat_K(n\times n)\to K,\] die die folgenden Eigenschaften erfüllt:
\begin{enumerate}[(D1)]
\item Die Determinante ist multilinear in den Zeilen.
\item Die Determinante ist alternierend in den Zeilen.
\item Die Determinante ist normiert in dem Sinne, dass \(\det(\text{Einheitsmatrix}) = 1\).
\end{enumerate}
\cite{Satz~8.4}
[/latex] [latex]
Dass die Determinante \emph{multilinear in den Zeilen} ist, bedeutet:
\[
\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}s\vec{a} + t\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
=\phantom{
{\color{blue}s}\det\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{a}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
+
{\color{blue}t}\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
}
\]
(Hier sind \(\vec a_i\), \(\vec a\), \(\vec b\) Zeilenvektoren; \(s, t \in K\).)
[/latex] [latex]
Dass die Determinante \emph{multilinear in den Zeilen} ist, bedeutet:
\[
\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}s\vec{a} + t\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
=
{\color{blue}s}\det\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{a}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
+
{\color{blue}t}\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{j-1}\\
{\color{blue}\vec{b}}\\
\vec{a}_{j+1} \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
\]
(Hier sind \(\vec a_i\), \(\vec a\), \(\vec b\) Zeilenvektoren; \(s, t \in K\).)
[/latex] [latex]
Dass die Determinante \emph{alternierend in den Zeilen} ist, bedeutet per Definition:
\[
\phantom{\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
= 0
}
\]
\phantom{sobald zwei Zeilen gleich sind (\(\vec a_i = \vec a_j\) für zwei Indizes \(i\neq j\)).}
[/latex] [latex]
Dass die Determinante \emph{alternierend in den Zeilen} ist, bedeutet per Definition:
\[
\det
\begin{pmatrix}
\vec{a}_1 \\
\vdots\\
\vec{a}_{n}
\end{pmatrix}
= 0
\]
sobald zwei Zeilen gleich sind (\(\vec a_i = \vec a_j\) für zwei Indizes \(i\neq j\)).
[/latex] [latex]
Weil die Determinante multilinear und alternierend in den Zeilen ist, folgt für jede Permutation der Zeilen:
\[\det\begin{pmatrix}\vec{a}_{\sigma(1)} \\ \vdots\\\vec{a}_{\sigma(n)}\end{pmatrix} = \phantom{ \mathrm{sign}(\sigma)\cdot \det\begin{pmatrix}\vec{a}_{1} \\ \vdots\\\vec{a}_n\end{pmatrix}}\]
(Hier sind \(\vec a_i\) Zeilenvektoren; \(\sigma \in S_n\).)
[/latex] [latex]
Weil die Determinante multilinear und alternierend in den Zeilen ist, folgt für jede Permutation der Zeilen:
\[\det\begin{pmatrix}\vec{a}_{\sigma(1)} \\ \vdots\\\vec{a}_{\sigma(n)}\end{pmatrix} = \mathrm{sign}(\sigma)\cdot \det\begin{pmatrix}\vec{a}_{1} \\\vdots\\\vec{a}_n\end{pmatrix}\]
(Hier sind \(\vec a_i\) Zeilenvektoren; \(\sigma \in S_n\).)
\cite{Satz~8.4}
[/latex] LinA-I-08-Determinante Satz
e6f892b3-eaa4-42b2-aa70-b851c4a51e80 [latex]
Addieren wir zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte \dots die Determinante \dots.
[/latex] [latex]
Addieren wir zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte ändert sich die Determinante nicht.
\cite{Erläuterung zu Satz~8.4}
[/latex] [latex]
Multiplizieren wir eine Zeile/Spalte mit einem Faktor \(s \in K\), ändert sich die Determinante \hide{genau um diesen Faktor.}
[/latex] [latex]
Multiplizieren wir eine Zeile/Spalte mit einem Faktor \(s \in K\), ändert sich die Determinante genau um diesen Faktor.
\cite{Erläuterung zu Satz~8.4}
[/latex] LinA-I-08-Determinante Satz
dd613c4c-ee64-4ecd-83ec-7cf3720fbd8c [latex]
\textbf{Multiplikationssatz}
Für \(A,B \in \Mat_K(n\times n)\) gilt:
\[\det(A\cdot B) = \hide{\det A \cdot \det B}\]
[/latex] [latex]
\textbf{Multiplikationssatz}
Für \(A,B \in \Mat_K(n\times n)\) gilt:
\[\det(A\cdot B) = \det A \cdot \det B\]
\cite{Satz~8.7}
[/latex] LinA-I-08-Determinante Satz
392bc45f-fe2c-46cc-ac11-e04111de86a4 [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium}
Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det(A) \hide{\neq 0}\).
[/latex] [latex]
\textbf{Invertierbarkeitskriterium}
Eine quadratische Matrix \(A\) ist genau dann invertierbar, wenn \(\det(A) \neq 0\).
\cite{Korollar~8.8}
[/latex] [latex]
Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\[\det(A^{-1}) = \hide{\det(A)^{-1}}\]
[/latex] [latex]
Für eine invertierbare Matrix \(A\) gilt:
\[\det(A^{-1}) = \det(A)^{-1}\]
\cite{Korollar~8.8}
[/latex] LinA-I-08-Determinante Satz
5fbba36d-4f47-406d-8710-16ff660f4f10 [latex]
Die \textbf{Adjungierte} \(A^\#\) einer quadratischen Matrix \(A\) ist gegeben durch
\[
A^\# = \left(\phantom{(-1)^{i+j} \det(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}})}\right)_{\textcolor{green}{i},\textcolor{red}{j}}
\]
Hier ist \(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}}\) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem man Zeile~\(j\) und Spalte~\(i\) streicht.
[/latex] [latex]
Die \textbf{Adjungierte} \(A^\#\) einer quadratischen Matrix \(A\) ist gegeben durch
\[
A^\# = \left((-1)^{i+j} \det(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}})\right)_{\textcolor{green}{i},\textcolor{red}{j}}
\]
Hier ist \(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}}\) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem man Zeile~\(j\) und Spalte~\(i\) streicht.
\cite{Def.~8.10}
[/latex] [latex]
Die \textbf{Adjungierte} \(A^\#\) einer quadratischen Matrix \(A\) ist gegeben durch
\[
A^\# = \left((-1)^{i+j} \det(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}})\right)_{\textcolor{green}{i},\textcolor{red}{j}}
\]
Hier ist \(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}}\) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem man \hide{Zeile~\(j\) und Spalte~\(i\) streicht.}
[/latex] [latex]
Die \textbf{Adjungierte} \(A^\#\) einer quadratischen Matrix \(A\) ist gegeben durch
\[
A^\# = \left((-1)^{i+j} \det(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}})\right)_{\textcolor{green}{i},\textcolor{red}{j}}
\]
Hier ist \(A_{\#\textcolor{red}{j},\textcolor{green}{i}}\) die Matrix, die aus \(A\) hervorgeht, indem man Zeile~\(j\) und Spalte~\(i\) streicht.
\cite{Def.~8.10}
[/latex] Def LinA-I-08-Determinante
b88bdf47-b1d7-4b57-8e1c-abdbaa5c0914 [latex]
\textbf{Geschlossene Formel für inverse Matrix}
\[
A^{-1} = \phantom{\frac{1}{\det{A}} \cdot A^\#}
\]
[/latex] [latex]
\textbf{Geschlossene Formel für inverse Matrix}
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det{A}} \cdot A^\#
\]
\cite{Korollar~8.12}
[/latex] LinA-I-08-Determinante Satz
817ebd17-a9fa-4493-b3b1-47ee895197f0 [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{äquivalent}, wenn es \hide{invertierbare Matrizen \(S\) und \(T\) gibt mit}
[/latex] [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{äquivalent}, wenn es invertierbare Matrizen \(S\) und \(T\) gibt mit
\[
A' = S^{-1} A T.
\]
\cite{Def.~9.1}
[/latex] [latex]
Zwei Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{ähnlich}, wenn es \hide{eine invertierbare Matrix \(T\) gibt mit}
[/latex] [latex]
Zwei quadratische Matrizen \(A\), \(A'\) sind \textbf{ähnlich}, wenn es eine invertierbare Matrix \(T\) gibt mit
\[
A' = T^{-1} A T.
\]
\cite{Def.~9.1}
[/latex] Def LinA-I-09-Diagonalisierbarkeit
67d25115-2ce9-49f0-83f5-fcdb2c1c15ad [latex]
Ein Endomorphismus \(f\colon V \to V\) ist \textbf{diagonalisierbar}, falls es eine Basis \(B\) von \(V\) gibt, sodass \({}_BM_{B}(f)\) \hide{eine Diagonalmatrix ist.}
[/latex] [latex]
Ein Endomorphismus \(f\colon V \to V\) ist \textbf{diagonalisierbar}, falls es eine Basis \(B\) von \(V\) gibt, sodass \({}_{B}M_{B}(f)\) eine Diagonalmatrix ist.
\cite{Def.~9.4}
[/latex] [latex]
Eine quadratische Matrix ist \textbf{diagonalisierbar}, falls sie \hide{ähnlich} ist zu einer Diagonalmatrix.
[/latex] [latex]
Eine quadratische Matrix ist \textbf{diagonalisierbar}, falls sie ähnlich ist zu einer Diagonalmatrix.
\cite{Def.~9.4}
[/latex] Def LinA-I-09-Diagonalisierbarkeit
84e9a681-0063-4350-83d5-fa2b5b03b1c8 [latex]
Ein \textbf{Eigenwert} von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor \hide{\(\vec{v}\neq0\)} existiert, der von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird.
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Eigenwert} von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor \(\vec{v}\neq0\) existiert, der von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:
\[f(\vec{v}) = a \cdot \vec{v}\]
\cite{Def.~9.5}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Eigenwert} von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor \(\vec{v}\neq0\) existiert, der \hide{von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:}
[/latex] [latex]
Ein \textbf{Eigenwert} von \(f \in \text{End}_K(V)\) ist ein Skalar \(a\in K\), zu dem ein Vektor \(\vec{v}\neq0\) existiert, der von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:
\[f(\vec{v}) = a \cdot \vec{v}\]
\cite{Def.~9.5}
[/latex] [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Ein \textbf{Eigenvektor} zu einem Eigenwert \(a\in K\) ist ein Vektor \(\vec{v}\neq0\), der \hide{von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:}
[/latex] [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Ein \textbf{Eigenvektor} zu einem Eigenwert \(a\in K\) ist ein Vektor \(\vec{v}\neq0\), der von \(f\) mittels \(a\) skaliert wird:
\[f(\vec{v}) = a \cdot \vec{v}\]
\cite{Def.~9.5}
[/latex] [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Der \textbf{Eigenraum von \(f\) zu \(a\)} ist der Untervektorraum
\[\mathrm{Eig}(f;a) := \hide{\left\{\vec{v}\in V \;\middle\vert\; f(\vec{v}) = a\cdot\vec{v}\right\}}\]
[/latex] [latex]
Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum, \(f \in \text{End}_K(V)\).
Der \textbf{Eigenraum von \(f\) zu \(a\)} ist der Untervektorraum
\[\mathrm{Eig}(f;a) := \left\{\vec{v}\in V \;\middle\vert\; f(\vec{v}) = a\cdot\vec{v}\right\}\]
\cite{Def.~9.5}
[/latex] Def LinA-I-09-Diagonalisierbarkeit